材料力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

理論力學(xué)分為靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)，顧名思義，這是打基礎(chǔ)的純理論；材料力學(xué)里面很多東西比較微觀，經(jīng)常會(huì)講到到某個(gè)截面上某個(gè)微小部分的力學(xué)分析，基本上就是對(duì)某個(gè)桿件的某些截面和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析；結(jié)構(gòu)力學(xué)主要涉及體系分析，分析中會(huì)忽略一些不必要的條件，比如桿件的軸向變形，而這部分在材料力學(xué)里面還專(zhuān)門(mén)論述過(guò)。

在工程靜力學(xué)中，忽略了物體的變形，將所研究的對(duì)象抽象為剛體。實(shí)際上，任何固體受力后其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間均將產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使其初始位置發(fā)生改變，稱(chēng)之為位移 (displacement)，從而導(dǎo)致物體發(fā)生變形。

工程上，絕大多數(shù)物體的變形均被限制在彈性范圍內(nèi)，即當(dāng)外加載荷消除后，物體的變形隨之消失，這時(shí)的變形稱(chēng)為彈性變形 (elastic deformation)，相應(yīng)的物體稱(chēng)為彈性體 (elastic body)。

材料力學(xué)所涉及的內(nèi)容分屬于兩個(gè)學(xué)科：

固體力學(xué) (solid mechanics)，即研究物體在外力作用下的應(yīng)力、變形和能量，統(tǒng)稱(chēng)為應(yīng)力分析 (stress analysis)。但是，材料力學(xué)又不同于固體力學(xué)，材料力學(xué)所研究的僅限于桿類(lèi)物體，例如桿、軸、梁等。

力學(xué)特性是指在外力作用下材料變形與所受外力之間的關(guān)系，以及材料抵抗變形和破壞的能力，這些力學(xué)特性均需通過(guò)材料試驗(yàn)確定。

以上兩方面的結(jié)合，使材料力學(xué)成為工程設(shè)計(jì) (engineering design) 的重要組成部分，即設(shè)計(jì)出桿狀構(gòu)件或零部件的合理形狀和尺寸，以保證它們具有足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性。

左：傳統(tǒng)具有柱、梁的木質(zhì)房屋結(jié)構(gòu)；右：趙州橋。

橋式起重機(jī)

彈性變形與塑形變形示例

強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性是衡量構(gòu)件承載能力的三個(gè)方面，材料力學(xué)就是研究構(gòu)件承載能力的一門(mén)科學(xué)。對(duì)構(gòu)件在荷載作用下正常工作的要求：

具有足夠的強(qiáng)度：荷載作用下不斷裂，荷載去除后不產(chǎn)生過(guò)大的永久變形（塑性變形）；

具有足夠的剛度：荷載作用下的彈性變形不超過(guò)工程允許范圍；

材料力學(xué)的任務(wù)就是在滿(mǎn)足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的要求下，為設(shè)計(jì)既經(jīng)濟(jì)又安全的構(gòu)件提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。

構(gòu)件的分類(lèi)：桿件、板殼、塊體。

材料力學(xué)主要研究的構(gòu)件從幾何上多抽象為桿件，而且大多數(shù)抽象為直桿。

桿，縱向尺寸>>橫向尺寸，如柱、軸、梁；直桿，軸線為直線，橫截面與軸線垂直。

直桿，軸線為直線的桿；曲桿，軸線為曲線的桿。等截面桿，橫截面大小形狀不變的桿；變截面桿，橫截面大小或形狀變化的桿。材料力學(xué)中的主要研究對(duì)象是等截面桿。

(1) 均勻連續(xù)性假定

均勻連續(xù)性假定 (homogenization and continuity assumption) ，假定材料無(wú)空隙、均勻地分布于物體所占的整個(gè)空間。從微觀結(jié)構(gòu)看，材料的粒子當(dāng)然不是處處連續(xù)分布的，但從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看，只要所考察的物體幾何尺寸足夠大，而且所考察的物體中的每一“點(diǎn)”都是宏觀上的點(diǎn)，則可以認(rèn)為物體的全部體積內(nèi)材料是均勻、連續(xù)分布的。根據(jù)這一假定，物體內(nèi)的受力、變形等力學(xué)量，可以表示為各點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，從而有利于建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

均勻連續(xù)問(wèn)題：微觀不連續(xù)，宏觀連續(xù)。

(2) 各向同性假定

各向同性與各向異性：

各向同性假定 (isotropyassumption)，假定彈性體在所有方向上均具有相同的物理和力學(xué)性能。根據(jù)這一假定，可以用一個(gè)參數(shù)描寫(xiě)各點(diǎn)在各個(gè)方向上的某種力學(xué)性能（沿不同方向力學(xué)性能不同的材料稱(chēng)為各向異性材料，如木材、膠合板、纖維增強(qiáng)材料等）。

大多數(shù)工程材料雖然微觀上不是各向同性的，例如金屬材料，其單個(gè)晶粒呈結(jié)晶各向異性 (anisotropyofcrystallographic)，但當(dāng)它們形成多晶聚集體的金屬時(shí)，呈隨機(jī)取向，因而在宏觀上表現(xiàn)為各向同性。

(3) 小變形假定

小變形假定 (assumptionofsmalldeformation)，假定物體在外力作用下所產(chǎn)生的變形與物體本身的幾何尺寸相比是很小的，甚至可以略去不計(jì)。根據(jù)這一假定，當(dāng)考察變形固體的平衡問(wèn)題時(shí)，一般可以略去變形的影響，因而可以直接應(yīng)用工程靜力學(xué)方法。

不難發(fā)現(xiàn)，在工程靜力學(xué)中，實(shí)際上已經(jīng)采用了上述關(guān)于小變形的假定。因?yàn)閷?shí)際物體都是可變形物體，所謂剛體便是實(shí)際物體在變形很小時(shí)的理想化，即忽略了變形對(duì)平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響。從這個(gè)意義上講，在材料力學(xué)中，當(dāng)討論絕大部分平衡問(wèn)題時(shí)，仍將沿用剛體概念，而在其它場(chǎng)合，必須代之以變形體的概念。此外，以后的分析中還會(huì)發(fā)現(xiàn)，小變形假定在分析變形幾何關(guān)系等問(wèn)題時(shí)，將使問(wèn)題大力簡(jiǎn)化。

如圖，δ 遠(yuǎn)小于構(gòu)件的最小尺寸，所以通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡求各桿內(nèi)力時(shí)，把支架的變形略去不計(jì)。計(jì)算得到很大的簡(jiǎn)化。概括起來(lái)講，在材料力學(xué)中是把實(shí)際材料看作均勻、連續(xù)、各項(xiàng)同性的可變形固體，且在大多數(shù)場(chǎng)合下局限在彈性變形范圍內(nèi)和小變形條件下進(jìn)行研究。

(1) 外力

作用在結(jié)構(gòu)構(gòu)件上的外力包括外加載荷和約束力，二者組成平衡力系。外力分為體積力和表面力，簡(jiǎn)稱(chēng)體力和面力。體力分布于整個(gè)物體內(nèi)，并作用在物體的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。重力、磁力以及由于運(yùn)動(dòng)加速度在質(zhì)點(diǎn)上產(chǎn)生的慣性力都是體力；面力是研究對(duì)象周?chē)矬w直接作用在其表面上的力。

外力是來(lái)自構(gòu)件外部的力（載荷、約束反力），按外力作用的方式分類(lèi)：

體積力：連續(xù)分布于物體內(nèi)部各點(diǎn)的力，如重力和慣性力；

按外力與時(shí)間的關(guān)系分類(lèi)：

左：交變載荷；右沖擊載荷

考察兩根材料和尺寸都完全相同的直桿，所受的載荷 (FP) 大小亦相同，但方向不同。那么，哪一個(gè)容易發(fā)生破壞呢？

梁將遠(yuǎn)先于拉桿發(fā)生破壞，而且二者的變形形式也是完全不同的?？梢?jiàn)，在材料力學(xué)中不僅要分析外力，而且要分析內(nèi)力。

材料力學(xué)中的內(nèi)力不同于工程靜力學(xué)中物體系統(tǒng)中各個(gè)部分之間的相互作用力，也不同于物理學(xué)中基本粒子之間的相互作用力，而是指構(gòu)件受力后發(fā)生變形，其內(nèi)部各點(diǎn)（宏觀上的點(diǎn)）的相對(duì)位置發(fā)生變化，由此而產(chǎn)生的附加內(nèi)力，即變形體因變形而產(chǎn)生的內(nèi)力。這種內(nèi)力確實(shí)存在，例如受拉的彈簧，其內(nèi)力使彈簧恢復(fù)原狀；人用手提起重物時(shí)，手臂肌肉內(nèi)便產(chǎn)生內(nèi)力等等。

為了揭示承載物體內(nèi)的內(nèi)力，通常采用截面法 (section method)。這種方法是用一假想截面，將處于平衡狀態(tài)下的承載物體截為A、B兩部分。為了使其中任意一部分保持平衡，必須在所截的截面上作用某個(gè)力系，這就是A、B兩部分相互作用的內(nèi)力。根據(jù)牛頓第三定律，作用在A部分截面上的內(nèi)力與作用在B部分同一截面上的內(nèi)力在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)上，大小相等、方向相反。

(1) 內(nèi)力主矢與主矩

根據(jù)材料的連續(xù)性假定，作用在截面上的內(nèi)力應(yīng)是一個(gè)連續(xù)分布的力系。在截面上內(nèi)力分布規(guī)律未知的情形下，不能確定截面上各點(diǎn)的內(nèi)力。但應(yīng)用力系簡(jiǎn)化的基本方法，這一連續(xù)分布的內(nèi)力系可以向截面形心簡(jiǎn)化為一主矢FR 和主矩M，再將其沿三個(gè)特定的坐標(biāo)軸分解，便得到該截面上的6個(gè)內(nèi)力分量。

(2) 內(nèi)力分量

FN 為軸力，產(chǎn)生軸向的伸長(zhǎng)或縮短變形；FQ 為剪力，產(chǎn)生剪切變形；Mx 為扭矩，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形；MB（My 或Mz）為彎矩，產(chǎn)生彎曲變形。

(3) 疊加原理

在一定條件下，桿件所有內(nèi)力分量作用的效果，可以視為各個(gè)內(nèi)力分量單獨(dú)作用效果的疊加。通常可歸結(jié)為三組平面內(nèi)內(nèi)力分量與外力：

應(yīng)用平衡方法，考察所截取的任意一部分的平衡，即可求得桿件橫截面上各個(gè)內(nèi)力分量的大小和方向。以梁為例，梁上作用一鉛垂方向的集中力FP，A、B二處的約束力分別為FAy、FB。為求橫截面m-m 上的內(nèi)力分量，用假想截面將梁從任意截面m-m 處截開(kāi)，分成左、右兩段，任取其中一段作為研究對(duì)象，例如左段。

此時(shí)，左段上作用有外力FAy，為保持平衡，截面m-m 上一定作用有與之平衡的內(nèi)力，將左段上的所有外力向截面m-m 的形心平移，得到垂直于梁軸線的外力Fˊ及作用在梁對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的外力偶矩Mˊ，根據(jù)平衡要求，截面m-m 上必然有剪力FQ和彎矩M 存在，二者分別與Fˊ與Mˊ大小相等、方向相反。

若取右段為研究對(duì)象，同樣可以確定截面m-m 上的剪力與彎矩，所得的剪力與彎矩?cái)?shù)值大小是相同的，但由于與左段截面m-m 上的剪力、彎矩互為作用與反作用，故方向相反。截開(kāi)面上的內(nèi)力對(duì)留下部分而言已屬于外力。

確定桿件橫截面上的內(nèi)力分量的基本方法是截面法，一般包含下列步驟：

首先應(yīng)用工程靜力學(xué)方法，確定作用在桿件上的所有未知的外力。

在所要考察的橫截面處，用假想截面將桿件截開(kāi)，分為兩部分。

考察其中任意一部分的平衡，在截面形心處建立合適的直角坐標(biāo)系，由平衡方程計(jì)算出各個(gè)內(nèi)力分量的大小與方向。

需要注意的是：

注意區(qū)別于理論力學(xué)中的內(nèi)力。

由于整體平衡的要求，對(duì)于截開(kāi)的每一部分也必須是平衡的。因此，作用在每一部分上的外力必須與截面上分布內(nèi)力相平衡，組成平衡力系。這是彈性體受力、變形的第一個(gè)特征。彈性體受力后發(fā)生的變形也不是任意的，必須滿(mǎn)足協(xié)調(diào) (compatibility) 一致的要求。這是彈性體受力、變形的第二個(gè)特征。

彈性體的內(nèi)力分量與變形有關(guān)，不同的變形形式對(duì)應(yīng)著不同的內(nèi)力分量。

(1) 桿件橫截面上的應(yīng)力

一般情形下的橫截面上的附加分布內(nèi)力，總可以分解為兩種：作用線垂直于截面的和作用線位于橫截面內(nèi)的。

分布內(nèi)力在一點(diǎn)的集度，稱(chēng)為應(yīng)力 (stresses)。作用線垂直于截面的應(yīng)力稱(chēng)為正應(yīng)力 (normalstress)，作用線位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱(chēng)為切應(yīng)力或剪應(yīng)力(shrearingstress)。應(yīng)力的單位記號(hào)為Pa或MPa，工程上多用MPa。

應(yīng)力就是單位面積上的內(nèi)力？工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)?ldquo;破壞”或“失效”往往從內(nèi)力集度最大處開(kāi)始。

正應(yīng)力、剪應(yīng)力與內(nèi)力分量之間的關(guān)系：

內(nèi)力分量是截面上分布內(nèi)力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。應(yīng)用積分方法，不難得到正應(yīng)力與軸力、彎矩之間的關(guān)系式，剪應(yīng)力與扭矩、剪力之間的關(guān)系式。

當(dāng)外力已知時(shí)，可由平衡方程求得內(nèi)力分量—靜定問(wèn)題。

正應(yīng)力與軸力、彎矩之間的關(guān)系

剪應(yīng)力與扭矩、剪力之間的關(guān)系

(2) 正應(yīng)變與剪應(yīng)變

如果將彈性體看作由許多微單元體所組成，這些微單元體簡(jiǎn)稱(chēng)微元體或微元 (element)，彈性體整體的變形則是所有微元變形累加的結(jié)果，而微元的變形則與作用在其上的應(yīng)力有關(guān)。圍繞受力彈性體中的任意點(diǎn)截取微元（通常為正六面體），一般情形下微元的各個(gè)面上均有應(yīng)力作用。對(duì)應(yīng)于不同的應(yīng)力作用引起的變形不一樣，因此由其引起的應(yīng)變也不一樣。

取一微正六面體，兩種基本變形：

角變形（剪切變形）：線段間夾角的變化；

線變形與剪切變形，這兩種變形程度的度量分別稱(chēng)“正應(yīng)變”(NormalStrain) 和“切應(yīng)變”(ShearingStrain)。關(guān)于正應(yīng)力和正應(yīng)變的正負(fù)號(hào)，一般約定：拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)。產(chǎn)生拉應(yīng)變的應(yīng)力（拉應(yīng)力）為正，產(chǎn)生壓應(yīng)變的應(yīng)力（壓應(yīng)力）為負(fù)。

(3) 線彈性材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

對(duì)于工程中常用材料，若在彈性范圍內(nèi)加載（應(yīng)力小于某一個(gè)極限值），對(duì)于只承受單方向正應(yīng)力或承受切應(yīng)力的微元體，正應(yīng)力與正應(yīng)變及切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在著線性關(guān)系。

E 稱(chēng)為彈性模量或楊氏模量，G 稱(chēng)為切變模量。

(4) 桿件受力與變形的基本形式

來(lái)源：材子筆記